Thèse Corps de Frobenius des Variétés Abéliennes sur les Corps de Nombres H/F - Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université de Bordeaux École doctorale : Mathématiques et Informatique Laboratoire de recherche : IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux Direction de la thèse : Florent JOUVE ORCID 0000000312499585 Début de la thèse : 2026-09-01 Date limite de candidature : 2026-05-25T23:59:59 Pour une variété abélienne A sur un corps de nombres et à une place v de bonne réduction, un invariant de base de A est le corps de nombres engendré par les valeurs propres du Frobenius en v. Il s'agit du corps de décomposition, sur le corps de nombres de base, du polynôme caractéristique de Frobenius en v agissant sur le module de Tate p-adique associé à A (ici p est un certain/n'importe quel nombre premier fixé et premier à v). Un tel corps de décomposition est appelé corps de Frobenius. Dans un article récent, Burungale--Hida--Lai étudient les liens entre ces corps de décomposition et l'arithmétique de la variété abélienne.

Pour une variété abélienne CM, au vu de la théorie de Shimura, Taniyama et Weil, les corps de Frobenius sont contenus dans un corps de nombres fixé (le corps de nombres donnant la structure CM à la variété abélienne) pour un ensemble de places de densité de Dirichlet 1.
Une question naturelle est d'explorer la densité de Dirichlet supérieure de l'ensemble des places en lesquelles le corps de Frobenius d'une variété abélienne non-CM coïncide avec un corps de nombres donné (à isomorphisme près). La question a été étudiée dans divers cas de basse dimension. Dans un article publié en 2025, Burungale--Hida--Lai considèrent le cas général en appliquant une approche uniforme. Ils montrent que la densité de Dirichlet supérieure est nulle sous une hypothèse naturelle de connexité. De plus, en supposant GRH, ils combinent le théorème de densité de Chebotarev avec une version du crible de Selberg pour fournir une borne supérieure améliorant d'une puissance de x la borne triviale pour la taille de l'ensemble des places de norme majorée par x en lesquelles le corps de Frobenius d'une variété abélienne non-CM coïncide avec un corps de nombres donné.

Le but de la thèse est d'explorer comment d'autres méthodes de crible pourraient être appliquées au même problème afin d'obtenir des informations complémentaires /plus fines sur les corps de Frobenius. On a à l'esprit, notamment, que le grand crible a été appliqué avec succès à un certain nombre de questions provenant de la géométrie arithmétique. De plus, il sera intéressant de comprendre si l'on peut obtenir des bornes inconditionnelles, quitte à travailler «en moyenne» ou en spécifiant des corps de décomposition cibles de groupe de Galois jouissant de propriétés particulièrement bien adaptées à la question posée.

On recherche un(e) excellent(e) étudiant(e) de M2 s'étant déjà spécialisé en théorie des nombres et familier avec les aspects algébriques et analytiques du thème.