Thèse Systèmes de Numération et Ordre Apériodique H/F - Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université de Bordeaux École doctorale : Mathématiques et Informatique Laboratoire de recherche : LaBRI - Laboratoire Bordelais de Recherche en Informatique Direction de la thèse : Sébastien LABBE ORCID 0000000273302718 Début de la thèse : 2026-10-01 Date limite de candidature : 2026-06-15T23:59:59 En 2015, Jeandel et Rao ont démontré par des calculs exhaustifs faits par ordinateur que tout ensemble de tuiles de Wang de cardinalité <= 10 soit admettent un pavage périodique du plan $\mathbb{Z}^2$ soit n'admettent aucun pavage du plan. De plus, ils ont trouvé un ensemble de 11 tuiles de Wang qui est *apériodique*, c'est-à-dire qui pavent le plan mais jamais de façon périodique. Il n'y a donc pas de plus petit ensemble de tuiles de Wang *apériodique* que celui de Jeandel-Rao.

Il se trouve qu'il existe une bijection (hormis un sous-ensemble de mesure nulle et hormis un autre sous-ensemble conjecturé de mesure nulle) entre les pavages de Jeandel-Rao et les points du tore. Cette bijection commute avec les translations, de sorte que c'est un isomorphisme mesurable. Ce résultat généralise le comportement des mots sturmiens: le système dynamique symbolique engendré par un mot sturmien est conjugué en mesure à une rotation irrationnelle sur le cercle (Morse, Hedlund, 1940). Il généralise aussi un résultat de Rauzy (1980): le système dynamique symbolique engendré par le mot de Tribonacci est conjugué à une translation irrationnelle sur le tore, aussi appelé fractale de Rauzy.

Les résultats récents obtenus par S. Labbé au sujet des pavages apériodiques de Jeandel-Rao ouvrent de multiples directions de recherches qui seront explorées pendant la thèse. En effet, les pavages apériodiques de Jeandel-Rao (engendrés par un ensemble de 11 tuiles de Wang) sont engendrés par le codage de deux rotations irrationnelles sur un tore 2-dimensionel selon une certaine partition polygonale. Cette construction est inédite dans le sens où on ne connaissait pas de telle partition d'un tore pour les autres pavages apériodiques bien connus (comme les
pavages de Penrose).

Une question naturelle qui en découle est d'unifier la théorie des pavages apériodiques souvent divisée en deux parties (les pavages géométriques comme les pavages de Penrose d'une part et les pavages de la grille Z^2 par des tuiles de Wang d'autre part).

Comme les pavages apériodiques de Jeandel-Rao, de nombreux autres exemples impliquent le nombre d'or. Par exemple, les pavages apériodiques découverts par Penrose sont constitués de deux carreaux polygonaux dont le rapport de fréquence est égal au nombre d'or [18]. De même, les pavages par le monotile apériodique découvert en 2023 par David Smith sont tels que le rapport des fréquences des deux orientations du monotile est égal à la quatrième puissance du nombre d'or [21]. Nous connaissons des pavages apériodiques qui ne sont pas liés au nombre d'or [5]. Cependant, la caractérisation des nombres possibles pour de tels rapports est une question posée dès 1992 par Ammann, Grünbaum et Shephard [1], qui reste encore ouverte aujourd'hui. Répondre à cette question est l'un des objectifs du projet de doctorat actuel.

Des progrès ont récemment été réalisés sur cette question par mon futur directeur de thèse en France. Une nouvelle famille d'ensembles de tuiles de Wang apériodiques impliquant la racine positive du polynôme x^2 nx 1 a été découverte par Labbé [12, 13]. Jusqu'à présent, la recherche sur les pavages apériodiques impliquait souvent l'étude d'exemples uniques, souvent découverts par des mathématiciens non professionnels [1, 23, 22] ou par des recherches informatiques exhaustives [6]. Pour la première fois, il s'agit d'une famille à un paramètre d'ensembles apériodiques de tuiles de Wang qui va au-delà de l'omniprésent nombre d'or.

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Cotutelle de thèse avec Edita Pelantova
KM FJFI CVUT
Trojanova 13
120 00 Praha 2
Czech Republic - Relier les systèmes de numérations des nombres réels et des nombres entiers aux pavages apériodiques
- Construire de nouveaux pavages apériodiques associés à d'autres nombres algébriques
- Trouver un ensemble de tuiles de Wang apériodique associé à un nombre algébrique de degré 3 (par exemple, la substitution de Tribonacci) Les méthodes incluent l'utilisation des systèmes de numération (mathématiques) et des recherches à l'aide d'exploration intensives par ordinateur incluant des outils tel que SageMath et le solveur Glucose développé au LaBRI.

- Compétences en informatique théorique.
- Compétences en programmation pratique (par exemple C, C++, Python ou SageMath)
- Intérêt pour les mathématiques