Thèse Opérateurs de Type Dirac en Présence de Géométries Non-Triviales H/F - 33

Établissement : Université de Bordeaux
École doctorale : Mathématiques et Informatique
Laboratoire de recherche : IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux
Direction de la thèse : Vincent BRUNEAU ORCID 000900081467570X
Début de la thèse : 2026-09-01
Date limite de candidature : 2026-05-04T23:59:59

En physique de la matière condensée, les équations de type Dirac régissent le comportement de nouveaux matériaux aux propriétés remarquables. C'est le cas du graphène (un matériau périodique en nid d'abeille) et des isolants topologiques (des matériaux isolants en volume mais conducteurs en bordure). Un objectif important de ces modèles est de révéler les états de bord qui se propagent soit le long du bord du domaine, soit à une interface créée par une masse variable ou un potentiel électrique/magnétique.

De tels phénomènes, comparables à l'effet Hall quantique, ont été intensivement étudiés pour les opérateurs de Schrödinger magnétiques. Pour les opérateurs de type Dirac, de nouveaux phénomènes sont attendus. Leurs études mathématiques sont en plein développement. Des difficultés spécifiques et des comportements différents découlent de la nature de ces opérateurs matriciels: spectre non semi-borné, conditions aux limites délicates, propriétés d'anticommutation, etc.

L'objectif de cette thèse est de contribuer à l'étude mathématique des opérateurs de type Dirac en présence de géométries particulières (interfaces courbes, perturbations magnétiques ou singulières, domaines avec frontières, domaines avec coins, etc.). Pour les modèles de type Dirac issus de la physique de la matière condensée, notre but est de fournir une description spectrale plus complète (fonctions de bande) des opérateurs de référence (opérateurs libres), puis en présence d'une frontière, de perturbations ou d'interfaces. Nous nous intéresserons également aux phénomènes de propagation fine des états de bord produits dans ce milieu, en proposant une interprétation générale des états de bord en termes de propagation d'états cohérents et de mesures de Wigner.

Collaborations académiques : Le/la candidat(e) rejoindra l'équipe «EDP et physique mathématique» de l'Institut de Mathématiques de Bordeaux et participera au projet ANR SpecDiMa. Il/elle aura l'opportunité de collaborer avec les chercheurs impliqués dans ce projet, notamment un nouveau post-doctorant arrivant en septembre 2026, ainsi qu'avec des collègues du laboratoire de physique LOMA (Laboratoire Ondes et Matière d'Aquitaine). Ce projet s'inscrit également dans le cadre d'un partenariat avec un projet national espagnol, mené par le groupe de recherche AGAPI.

Contribution à l'étude mathématique d'opérateurs de type Dirac en présence de géométries particulières pour décrire de nouveaux phénomènes associés aux matériaux de Dirac.

Le/La doctorant(e) devra approfondir sa formation et sa maîtrise de sujets mathématiques tels que la théorie spectrale, l'analyse microlocale et semi-classique, et la théorie des perturbations, et sera confronté à des questions mathématiques concernant le caractère bien posé de l'opérateur de Dirac (auto-adjonction), la description du spectre ou des résonances, l'existence et les propriétés de propagation des états de bord le long de la frontière ou de l'interface entre des isolants topologiques.
Le/La candidat(e) étudiera les propriétés des paquets d'ondes, des quasi-modes ou des états de bord plus généraux se concentrant à l'interface ou à la frontière dans différents modèles de Dirac, la stabilité de ces états de bord par rapport à la dynamique classique sur l'interface, la géométrie et la courbure.