Thèse Variétés Algébriques Complexes Uniformisées par l'Espace Affine H/F - 33

Établissement : Université de Bordeaux
École doctorale : Mathématiques et Informatique
Laboratoire de recherche : IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux
Direction de la thèse : Yohan BRUNEBARBE ORCID 0000000281290702
Début de la thèse : 2026-10-01
Date limite de candidature : 2026-05-04T23:59:59

On propose d'étudier les variétés algébriques complexes X dont le revêtement universel est biholomorphe à l'espace affine complexe C. En dimension 1, le théorème d'uniformisation de Koebe-Poincaré montre que ces variétés sont soit des courbes elliptiques, soit isomorphes à C ou C*.

Dans le cas où X est projective, la conjecture d'Iitaka prédit qu'un revêtement fini non ramifié de X est une variété abélienne. Autrement dit, la variété analytique sous-jacente serait biholomorphe à un quotient de C par un réseau discret cocompact agissant par translations. Cette conjecture implique notamment que le groupe fondamental de X possède un sous-groupe d'indice fini abélien. Elle est démontrée en dimensions inférieures ou égales à 3 grâce à la classification des surfaces complexes et aux résultats liés à la conjecture d'abondance, mais reste ouverte en dimension supérieure ou égale à 4.

Lorsque X n'est pas supposée compacte, aucune description conjecturale générale n'est connue. On dispose toutefois d'exemples naturels obtenus comme quotients de C par des sous-groupes discrets agissant par translation, dont le groupe fondamental est abélien. Il existe également des exemples où le groupe fondamental est nilpotent mais non abélien, par exemple à partir du complément de la section nulle d'un fibré en droites sur une variété abélienne.

Le but de cette thèse est de proposer une description conjecturale générale des variétés uniformisées par C, et de la démontrer au moins lorsque le groupe fondamental admet une représentation linéaire complexe fidèle.