Thèse Discretisations Préservant la Structure pour des Systèmes Hyperboliques et Applications H/F - 33

Établissement : Université de Bordeaux
École doctorale : Mathématiques et Informatique
Laboratoire de recherche : IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux
Direction de la thèse : Mario RICCHIUTO ORCID 0000000216797339
Début de la thèse : 2026-10-01
Date limite de candidature : 2026-05-04T23:59:59

Dans ce projet, nous considérons des lois d'équilibre non linéaires complexes avec des termes sources et des limites raides. On peut citer comme exemples la forme hyperbolisé des équations de la chaleur ou les équations d'Euler incluant des régions à faible Mach. Des reformulations entièrement hyperboliques des équations d'Euler-Fourier (incluant le transfert de chaleur) sont également considérées [3]. Ces systèmes présentent plusieurs caractéristiques intéressantes (communes à d'autres systèmes rencontrés dans nombreuses applications) :
1. états stationnaires non triviaux associés à des conditions solénoïdales (ou à une divergence imposée).
2. involutions : le rotationnel de certaines variables est préservé dans le temps.
3. états asymptotiques : pour certaines valeurs de paramètres physiques, l'EDP a un comportement effectif qui est non hyperbolique et donné par une EDP d'ordre supérieur (parabolique ou elliptique).
Nous visons à concevoir des schémas préservant la structure capables de vérifier les analogues discrets des trois caractéristiques ci-dessus.

Nous partirons de la formulation 'global flux quadrature' proposée dans [1] et [2]. Cette méthode, basée sur l'utilisation de potentiels de flux intégrés transversalement, s'est avérée préserver la stationnarité, c'est-à-dire être localement compatible avec tous les états stationnaires, préserver les involutions et se comporter correctement dans la limite des faibles Mach lors de la résolution des équations d'Euler compressibles. Nous étudierons les améliorations suivantes.
- Formulation décalées IMEX. L'approche de quadrature du flux global
proposée dans [1] et [2] est entièrement explicite. Lorsqu'il s'agit de limites raides, de formulations semi-implicites sone plus efficaces. Ces approches IMEX
nécessitent une refonte de la dissipation numérique afin de garantir toutes les propriétés de préservation de la structure. Les approximations décalées
devraient permettre d'obtenir des systèmes algébriques plus compacts et des involutions de forme plus simple.
- Capture des chocs. Afin d'obtenir un schéma unifié qui préserve simultanément la structure et qui garantit la robustesse à proximité des chocs, nous intégrerons des capacités de capture de discontinuités couplé à des senseur de compatibilité avec les structures préservées (e.g. états stationnaires).
- Les conditions aux limites compatibles sont extrêmement importantes lorsqu'il s'agit de méthodes de préservation de la structure [4].
Le traitement des limites doit respecter les états stationnaires, maintenir les
contraintes discrètes de divergence ou de rotation, et fournir un comportement robuste même en présence de termes sources rigides
ou dans les limites asymptotiques. Les limites de paroi jouent un rôle important et seront étudiées ici.
En plus de ces points, nous étudierons de manière plus rigoureuse les relations théoriques entre la stationnarité et la préservation asymptotique, ainsi que les relations entre la dissipation numérique induite par les formulations IMEX et celle de la stationnarité entièrement explicite.

[1] W. Barsukow, M. Ricchiuto, and D. Torlo, Structure preserving nodal continuous Finite Elements via
Global Flux quadrature, Num. Meth. for PDEs 41(1), 2025.

[2] W. Barsukow, M. Ciallella, M. Ricchiuto, and D. Torlo, Genuinely multi-dimensional stationarity preserving Finite Volume formulation for nonlinear hyperbolic PDEs, J.Comput.Phys. 550, 2026

[3] F. Dhaouadi, S. Gavrilyuk, An Eulerian hyperbolic model for heat transfer derived via Hamilton's
principle: analytical and numerical study, Proceedings of the Royal Society A, 480(2283), 2024.

[4] L. Río-Martín, F. Dhaouadi, M. Dumbser, An exactly curl-free finite-volume/finite-difference scheme
for a hyperbolic compressible isentropic two-phase model. J.Sci.Comp. 102 (13), 2025.