Thèse Algorithmique des Modules de Drinfeld Fonctions l'Et Formes Modulaires H/F - 33

Établissement : Université de Bordeaux
École doctorale : Mathématiques et Informatique
Laboratoire de recherche : IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux
Direction de la thèse : Xavier CARUSO ORCID 0000000234033578
Début de la thèse : 2026-10-01
Date limite de candidature : 2026-05-04T23:59:59

Les modules de Drinfeld jouent un rôle essentiel dans l'étude des propriétés arithmétiques des corps de fonctions K. En rang 1, ils permettent la construction explicite des extensions cyclotomiques de
K, offrant ainsi une perspective très concrète sur la théorie du corps de classes.
En rang 2, souvent comparés aux courbes elliptiques, ils permettent de construire les premières extensions non-abéliennes intéressantes de K, avec un contrôle précis sur la ramification. En outre, comme dans le cas des corps de nombres, dans certains situations, leurs j-invariants permettent de construire explicitement le corps des classes de Hilbert de certains extensions quadratiques de Fq(t).
L'analogie se poursuit avec la construction des fonctions L qui trouve, elle aussi, une forte raisonnance dans le monde Drinfeld. À tout module de Drinfeld, on peut associer sa série L: c'est une fonction analytique, définie comme un produit infini convergent (appelé produit eulérien), dont les valeurs, ou les développements de Taylor, en certains points spéciaux encodent des propriétés arithmétiques subtiles du corps sous-jacent ou de son groupe de Galois absolu, à la manière de la célèbre formule du corps de classes de Dirichlet ou, en rang supérieur, de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer.
La théorie des formes modulaires, et plus généralement des formes automorphes, s'étend, elle aussi, au cadre des corps de fonctions, offrant une perspective qui présente de nombreuses analogies avec les constructions classiques: on dispose d'opérateurs de Hecke, de symbôles modulaires, etc.

Si les aspects théoriques des modules de Drinfeld et de leurs ramifications ont été largement étudiés au cours des précédentes décennies, il est frappant de constater que l'algorithmique des modules de Drinfeld est longtemps restée cantonnée à ses applications à la factorisation des polynômes et à la cryptographie et qu'elle n'a pris sa véritable indépendance que très récemment avec les travaux de Caruso, Gazda et Leudière. Cette constatation est d'autant plus paradoxale que les objets du côté des corps de fonctions sont généralement beaucoup plus faciles d'accès que leurs analogues du côté des corps de nombres.
Un premier enseignement tiré des travaux précédemment cités est que, comme cela est également souvent le cas pour la partie théorique, il est avantageux pour l'algorithmique de travailler dans le cadre plus général des motifs d'Anderson, plutôt que celui des modules de Drinfeld. En effet, les motifs d'Anderson sont, par nature, des objets d'algèbre linéaire sur des anneaux de polynômes pour lesquels on dispose déjà de tout un arsenal algorithmique extrêmement bien rodé.
Le but de cette thèse est d'accélerer cette dynamique, avec pour objectifs plus précis la conception et l'implémentation dans le logiciel de calcul formel SageMath d'algorithmes pour, d'une part, le calcul des fonctions L des motifs d'Anderson et, d'autre part, la manipulation efficace sur machine des formes modulaires de Drinfeld.

Développement et implémentation de nouvelles méthodes algorithmiques pour calculer les invariants pertinents des modules de Drinfeld, des motifs d'Anderson et des formes modulaires associées.