Thèse Théorie de Hodge P-Adique Relative pour les Extensions Kummériennes H/F - 33

Établissement : Université de Bordeaux
École doctorale : Mathématiques et Informatique
Laboratoire de recherche : IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux
Direction de la thèse : Denis BENOIS
Début de la thèse : 2026-10-01
Date limite de candidature : 2026-05-04T23:59:59

La théorie des (\phi,\Gamma)-modules de Fontaine [Fo] classifie les représentations p-adiques du groupe de Galois absolu d'un corps local de caractéristique 0 en termes de modules sur un corps local de dimension 2 muni d'un opérateur de Frobenius et d'une action semi-linéaire du groupe de Galois p-cyclotomique. Ces constructions jouent un rôle fondamentale dans la théorie de Hodge p-adique ; le programme de Fontaine établie un lien explicite entre les (\phi,\Gamma)-modules et l'hiérarchie des représentations of p-adiques (représentations cristallines, semi-stables, de Rham) et fournit des outils pour prouver les conjectures centrales de la théorie (conjecture de monodromie p-adique et 'faiblement admissible implique admissible') [CC], [Be1],[Be2], [Ke].

Il s'avère que dans certaines situations (par exemple, dans l'étude des représentations semi-stables ou de la filtration de ramification) il est plus naturel de remplacer l'extension cyclotomique par une extension de Kummer infinie. Comme on veut travailler avec des extensions qui ne sont pas galoisiennes, la théorie des (\phi,\Gamma)-modules ne se généralise pas directement. Dans [Ca], Caruso a construit la théorie des (\phi,\tau)-modules, qui peut etre vue comme l'analogue de la théorie de Fontaine pour les tours kummériennes. Cette construction a trouvé des applications à la classification des représentations p-adiques [Po] et au calcul de la cohomologie galoisienne [Zh] (voir aussi [Ta]).

L'objectif de ce projet est de développer cette théorie dans le contexte relatif, en remplaçant le corps local par une algèbre affinoide ou par un corps de valuation discrète à corps résiduel imparfait. La théorie de (\phi,\Gamma)-modules dans ce contexte a été construite par Andreatta [A]. Dans son approche, \Gamma est le groupe de Galois de l'extension cyclotomique généralisée.
On veut développer une théorie parallèle pour les extensions kummériennes généralisés, puis établir
un lien avec l'hiérarchie des représentations p-adiques dans le cas relatif [Br]. L'une des motivations pour cette étude est la construction de la cohomologie syntomique à coefficients.