Thèse Dynamique Arithmétique de Polynômes et Fractions Rationnelles Aléatoires H/F - 33

Établissement : Université de Bordeaux École doctorale : Mathématiques et Informatique Laboratoire de recherche : IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux Direction de la thèse : Pascal AUTISSIER Début de la thèse : 2026-09-01 Date limite de candidature : 2026-05-04T23:59:59 Ce sujet de thèse adopte un point de vue statistique sur les propriétés arithmétiques de la dynamique des fractions rationnelles de degré d>1 fixé sur un corps de nombres K. Plus précisément, une telle fraction rationnelle f dans K(X)_d induit un endomorphisme de la droite projective P^1_K. Désignons par Prep(f) l'ensemble des points prépériodiques de f dans P^1(K). Un théorème classique de Northcott montre que Prep(f) est fini. Une fameuse conjecture de Morton et Silverman énonce qu'il devrait exister une constante C=C_{K,d} telle que #Prep(f)1, il est donc naturel d'étudier cette conjecture en moyenne sur les classes de conjugaison de fractions rationnelles de degré d. On introduit le quotient R_d=K(X)_d/PGL_2(K) et on va ordonner ses éléments en utilisant une hauteur 'modulaire' h_m:R_d->R_+ bien choisie (que je ne précise pas ici). Dans une première partie de la thèse, on étudiera la valeur moyenne de #Prep(f) lorsqu'on ordonne les éléments de R_d selon h_m : Problème 1 : Est-il vrai qu'asymptotiquement 100% des f dans R_d n'ont aucun point prépériodique dans P^1(K) ? Mentionnons que Le Boudec et Mavraki ont récemment exploré le cas particulier où K=Q et les f sont des *polynômes* : ils ont prouvé que Prep(f)={point à l'infini} pour 100% des f dans Q[X]_d. Un deuxième axe de recherche de cette thèse est l'obtention de résultats plus précis en étudiant la croissance des hauteurs canoniques h_f:P^1(K)->R_+. Rappelons que h_f s'annule exactement aux points prépériodiques de f. Ainsi est-il naturel de définir L(f)=min{h_f(z) ; z dans P^1(K)-Prep(f)}. La conjecture 'de Lang dynamique' (Silverman 2007) prédit l'existence d'une constante c=c_{K,d} telle que L(f)>c.h_m(f) pour toute f dans K(X)_d. Problème 2 : Existe-t-il c=c_{K,d}>0 telle qu'asymptotiquement 100% des f dans R_d (en les ordonnant par la hauteur modulaire) satisfont L(f)>c.h_m(f) ?