Thèse Constructions Géométriques de Codes Localement Recouvrables dans les Métrique Hamming et Rang H/F - 33

Établissement : Université de Bordeaux
École doctorale : Mathématiques et Informatique
Laboratoire de recherche : IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux
Direction de la thèse : Xavier CARUSO ORCID 0000000234033578
Début de la thèse : 2026-10-01
Date limite de candidature : 2026-05-04T23:59:59

Les codes localement recouvrables (LRCs) jouent un rôle clé dans les systèmes de stockage distribué modernes. Contrairement aux codes correcteurs classiques, les LRCs optimisent la localité : une propriété qui permet de reconstruire une partie des données perdues en accédant uniquement à un nombre limité d'autres données, réduisant ainsi la charge de communication et les coûts de maintenance.
Dans la métrique de Hamming, où la distance est mesurée par le nombre de symboles non nuls d'un vecteur, les constructions géométriques des LRCs sont particulièrement étudiées. Les codes basés sur des courbes algébriques ont permis d'atteindre un compromis optimal entre dimension (=capacité d'encodage), distance minimale (=capacité de correction) et localité. Les travaux plus récents exploitent la riche géométrie des surfaces fibrées pour concevoir des LRC optimaux, avec des paramètres explicites.
Un sujet très actuel est l'extension de ces concepts à la métrique rang, où la distance est mesurée par le rang d'une matrice. Cette généralisation permettrait d'obtenir des nouvelles constructions optimales, et est également motivée par les applications en stockage sur des canaux à effacement de paquets. Les défis incluent la bonne définition de localité dans la métrique rang, la conception de codes LRC en métrique rang à bons paramètres, et l'adaptation des outils géométriques à ce contexte.
Dans cette thèse nous avons les trois objectifs suivants :
- Construction de LRCs dans la métrique de Hamming à l'aide de surfaces fibrées de type général. Les codes classiques sur ces familles de surfaces ont déjà été étudiés mais leurs propriétés locales n'ont pas été explorées.
- Construction géométrique de LRCs en métrique rang. Récemment Berardini et Caruso ont proposé la première construction géométrique de codes en métrique rang à partir de courbes algébriques. Nous allons étudier la localité de ces codes. Nous prévoyons d'en tirer de LRCs optimaux comme en métrique de Hamming.
- Codes en métrique rang sur les surfaces. Les codes géométriques en Hamming ont été introduit sur les courbes et leur construction a été ensuite étendue à des variétés générales. Nous allons explorer comment étendre la construction de codes géométriques en métrique rang des courbes aux surfaces, pour ensuite en étudier la localité.

Voir le fichier pdf joint pour plus de précisions sur le contexte et le sujet de thèse.