Thèse Méthodes Numériques Avancées pour la Résolution d'Équations Dispersives H/F - 33

Établissement : Université de Bordeaux
École doctorale : Mathématiques et Informatique
Laboratoire de recherche : IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux
Direction de la thèse : Martin PARISOT ORCID 0000000170408384
Début de la thèse : 2026-10-01
Date limite de candidature : 2026-05-04T23:59:59

La résolution numérique des modèles dispersifs constitue un enjeu scientifique important pour la modélisation des ondes de surface et des écoulements en eaux peu profondes. De nombreux modèles dispersifs, dérivés comme approximations des équations complètes des vagues, peuvent être formulés comme des systèmes hyperboliques dont la solution appartient à un sous-espace linéaire d'un espace

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pondéré. Cette propriété repose sur une décomposition de type Helmholtz, analogue à celle utilisée en mécanique des fluides incompressibles, et définit une structure dite de projection. Plusieurs travaux ont montré que cette formulation permet de construire des schémas numériques robustes, efficaces et compatibles avec des propriétés physiques essentielles, notamment la satisfaction d'inégalités entropiques, le traitement stable des fronts secs ou encore le couplage cohérent de différents modèles dispersifs. Toutefois, malgré ces avancées, l'utilisation de ces modèles à grande échelle reste fortement limitée par leur coût de calcul, principalement lié à l'étape de projection implicite nécessaire à chaque pas de temps. L'objectif de cette thèse est de concevoir des stratégies numériques efficaces exploitant cette structure afin de réduire significativement ce coût tout en préservant la robustesse des méthodes existantes.

Le projet s'articule autour de trois axes complémentaires. Les deux premiers visent à accélérer la résolution numérique selon des approches distinctes qui seront d'abord étudiées sur le modèle KdV/BBM, représentant le cadre le plus simple possédant cette structure mathématique. Le premier axe concerne le développement de schémas prédiction-correction d'ordre élevé en temps. Ces méthodes reposent sur une étape explicite de prédiction incluant une approximation du terme dispersif, suivie d'une projection implicite réalisée uniquement en fin de pas de temps, étape la plus coûteuse du calcul. Le principal défi consiste à construire des discrétisations spatiales d'ordre élevé compatibles avec le sous-espace admissible et le produit scalaire associé à la projection. Deux approches seront étudiées : les méthodes volumes finis WENO, permettant d'atteindre une grande précision avec peu de degrés de liberté, et les méthodes de Galerkin discontinu, qui introduisent davantage de points par cellule mais permettent une résolution largement locale, favorable à la parallélisation. Une stratégie alternative basée sur des schémas pseudo-compressibles sera également explorée, où la projection est approchée par la relaxation d'un système hyperbolique auxiliaire, combinée à une détection locale des zones nécessitant réellement le calcul.

Le second axe vise à développer une stratégie adaptative reposant sur un estimateur a priori permettant de n'effectuer la projection que lorsque cela est nécessaire. L'écart entre la solution prédite et la contrainte de projection sera estimé localement ; lorsque cet écart reste inférieur à une tolérance fixée, la projection pourra être omise. Afin de tenir compte du caractère non local de cette opération, une stratégie de couplage à interface épaisse sera introduite pour étendre dynamiquement la zone de projection et garantir la robustesse du schéma.

Enfin, les méthodes les plus performantes seront appliquées à des modèles d'ondes plus réalistes de type Boussinesq, notamment les modèles de Green-Naghdi et de Peregrine, ainsi qu'à des formulations intégrant une structure verticale de la vitesse horizontale. Dans ces modèles, la structure de projection dépend d'une variable évolutive représentant la hauteur d'eau, ce qui nécessite une discrétisation soigneuse afin de préserver la précision d'ordre élevé. L'objectif final est ainsi de lever un verrou computationnel majeur et de rendre les modèles dispersifs compatibles avec des simulations hydrodynamiques à grande échelle.

Outil numérique pour la simulation des écoulement à surface libre (vague et nappe phréatique)

Schéma hyperbolique Galerkin Discontinue et méthodes de projection.